行列式的几何意义

几何 数学
数学经纬网    2021-01-11    250

行列式是线性代数的基本概念,万丈高楼平地起,打好基础,是首要的任务,深入理解其含义则是关键。

一、从一个三角形面积公式谈起

本期文章我们出一道题目:

行列式的几何意义

图一

不少网友都给出了正确答案:

行列式的几何意义

图二

(第二个式子中,外边长竖线表示绝对值,里面短竖线表示行列式)

不过写成二阶行列式的结果不够本质,不具有对称性,为什么一定要用第一个点的坐标去减其他点的坐标呢?更内蕴的写法是三阶行列式的绝对值:

行列式的几何意义

图三

二、推广到任意维数

如果说平面上三个点可以张出一块面积的话,在直线,或者数轴上只需要两个点就可以划出一个长度了。假设两个数轴上的点A,B,坐标分别为x1,x2,那么相应的长度就是:

行列式的几何意义

图四

注意观察这个用二阶行列式表示的长度公式和上面的用三阶行列式表示的面积公式非常类似。实际上在每个维数上都有这样的一个公式,比如在三维空间中,四个点张成的四面体的体积是:

行列式的几何意义

图五

任意n维空间中的公式是类似的,也是用(n+1)阶行列式绝对值表示,只需把绝对值前面的系数改为1/n!,n=1,2,3是,这个系数分别是1,1/2,1/6.

因此我们可以说,行列式的几何意义首先在于它可以表示长度,面积,体积,再推广为可以表示n维“体积”。

三、符号的几何意义

注意上面的长度,面积,体积公式都不考虑行列式的符号,那么在这些公式中行列式的符号有意义吗?

以长度公式为例:

行列式的几何意义

图六

里面的二阶行列式为正,当且仅当A点在B点的左边,或者说从A到B点的方向是向右。这时二阶行列式的符号和A到B的方向挂钩了,这是第一个结论,虽然非常简单。

面积公式中的三阶行列式的符号更有意思。如果说直线上先后的两点可以形成一个方向的话,平面中不共线的先后三个点A,B,C也会形成一种方向。我们让一个人从A点直走到B点,再从B点直走到C点,最后从C点再回到A点,这样就形成一个封闭路径。这个封闭路径有可能是逆时针或顺时针方向。

行列式的几何意义

图七

行列式的几何意义

图八

第二个结论:这个封闭路径是逆时针还是顺时针取决于相应的三阶行列式的符号是正还是负。

下一节我们会说明为什么这个结论会成立,目前我们先指出,任意对调三个点中的两个点,顺(逆)时针方向立刻改变。相对应的,行列式中任意两行或两列对调,符号也会改变。

最有意思的要数体积公式中的四阶行列式的符号了。在中学物理中我们都学过右手法则,而空间中不共面的先后四个点A,B,C,D的也会形成一种左手方向或右手方向。上面提到,A,B,C三点可以在它们确定的平面内形成一个封闭路径。现在让你的右手四个长指头顺着封闭路径的方向,如果此时拇指指向D点所在的一边,那我们就称这先后的四个点A,B,C,D形成右手方向,否则就称其形成左手方向。注意任意对调这四个点中的两个点,左(右)手方向立刻改变。

行列式的几何意义

图九

好了接下来就要给出最后一个结论了:空间中不共面的先后四个点A,B,C,D形成右手方向当且仅当相应的四阶行列式符号为正!

四、为什么符号会与方向挂钩?

我们接下来先说明一下为什么

“平面中不共线的先后三点形成的封闭路径是逆时针还是顺时针取决于相应的三阶行列式的符号是正还是负!”

首先,平面上任何不共线的先后三个点,在保持不共线的情况下,可以让第一个点,第二个点和第三个点分别同时连续移动到原点上,x轴正半轴上和y轴上。在移动过程中,相应的三阶行列式始终不等于0,所以它的符号不会变,另外三个点的顺(逆)时针的方向也不会变。所以只需对“第一个点是原点,第二个点在x轴正半轴,第三个点在y轴上”的情形来验证这个结论,而这个验证是非常简单的(详见下图)。

行列式的几何意义

图十

同样的方法可以解释为什么:

“空间中不共面的先后四个点A,B,C,D形成右手方向当且仅当四阶行列式符号为正!”

这是二维和三维的情况,面积和体积的行列式公式中的行列式符号有非常直观的几何意义,表示某种意义上的定向(方向)。而在n维的情形中,n+1个点相应的行列式符号没有直观的几何意义。

但是,注意了,这时我们仍然把行列式符号看成这n+1个点的某种“定向”,这种“定向”没有几何直观了,只是一二三维情形中定向的类比!


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