无法理解高等数学怎么办?看看认真的人是怎样学的

高等数学 数学技术
数学经纬网    2021-01-11    452

有多少人高中的时候,不用怎么学,数学成就都很好,然而,到了大学之后,遇到高数之后,却感觉脑袋瓦特了,本文告诉你认真的人是怎么学的。

无法理解高等数学怎么办?看看认真的人是怎样学的

图一

先不谈方法。大家总是在谈方法,我自己也总是喜欢谈方法。但是其实最残酷的回答就是:功夫没下够。

大学数学比中学数学难,所以需要更多时间。如果生活中没有什么驱动,很容易就功夫没下够,从而感到难以理解。

但是那些有足够需求驱动的朋友,很自然的不断的下功夫,不断的学、不断的想、不断的用,直到像唿吸一样简单,肯定就会觉得概念很自然了。

“得一善,则拳拳服膺而弗失之矣。”

方法总是能不断改进,但是手头有什么条件就用什么条件,不能说方法不完美就不往前走了,这才是正派武学的练法。一定要吃苦的。

然后说方法。所谓学习的方法,就是几个选择的权衡:

1. 到底学到什么程度算学会了。

前几天在知乎看到一个答案,说学数学有两个误区。一个是已经学会了,然后不继续往后学,总在现在的思想上,拼命翻新技巧。另一个是学得不扎实,意味着想要往后学。前者常见于中学教育,后者常见于大学之上的教育。

2. 理解还是背诵。

定理到底要一路追根究底到可以称为公理的东西,还是记住就好。如果我讨厌死记硬背,到底要不要记忆呢?

3. 看书重要还是做题重要。

那么到底怎么选呢?一个基本原则是走极端一定是错的。像我第一次的回答,就过于强调理解和看书,忽略了做题和背诵,说的不客气就是哗众取宠。所以我越想越不舒服。后来补上的答案,强调另一端,看似平衡了。但没有把背后的道理说透。

什么是背后的道理?只有两条。1、别走极端。2、小马过河,实事求是。不断的做,从现实中得到反馈,再改。

如果目标是通过考试,那么,学到能通过就算学会了。如果不会做题,自己想想是忘了基本的定理,还是不会灵活运用。如果是忘了基础,按照自己的性格,想理解就理解,想硬记就硬记。理解不管用就硬记,硬记不管用就理解。如果是不会灵活运用,那就说明题目做的少或者做了题没有总结。

如此而已。结合自己的性格、优势和最终的目标,怎么能哄着自己把功夫下够了,才是正理。

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图二

我下面写的所有东西,都是说,在学习的过程中,除了抓住细节之外,要多想多看,建立大图景,把要学的东西和自己的知识体系挂上钩。这样才能知道为什么要学,学习的过程也会有趣一点。

但是请不要觉得能看到大图景,就可以不用在乎细节了。不要觉得会吹牛,就不用做题了。这是因为我们的目标是学以致用,不是吹牛。同时,真正做够了题,你才能确保你看到的大图景是对的,而不是脑补。我说重一点,不做题,那就是民科!

什么叫做掌握?对于大学生来说,学习一门课,如果不能严格遵循公式和定理,写满一张A4纸的推导过程,就不算掌握。

怎么做到这种程度?认真的做题、认真的抠细节,必要的时候死记硬背,投入大量时间。这些该做的苦工,一样都少不了。

我不是数学专业的,只是一个像matrix67那样的数学爱好者。意见仅供参考。

理解的意义

很多同学谈到不用理解,我这里想介绍一种相反的方法,打桩法(彻底理解法)。

我的记忆力很差,记不住任何不能理解的东西。所以,我一直坚持彻底理解。成果大概是:大学里面的一门数学课,在我脑子里差不多就是半页纸的概念。没有刻意去背,但是怎么也忘不掉。带着这半页纸,基本上可以把书重新写出来。同时,对于这些概念,我不是记住,而是有感情。

真的有感情,因为数学从来不无聊。以线性代数为例。我看到了一个蔚为壮观的模式。

首先,从物理的角度,这个世界上充满了线性变换、线性关系。微分是线性变换,这就是为什么线性代数可以用来解微分方程组。几何操作经常是线性变换,这就是为什么3d图形学经常用线性代数。物理中经常有线性关系,如牛顿定理、胡克定理、电阻上电压与电流的关系。

为什么到处都是线性关系?因为物理中大量的概念都是可以叠加的,如电流、电压、重量、压力,两股电流输入,一股电流输出,则输出为输入之和。而为什么物理概念可以叠加?其本质是守恒性。

为什么经常有比例关系?这个我没有好的答案,我只是虔诚的信仰这个世界是简单的,因为简单,所以美。

其次,从使用的角度,只要你发现笔下的公式中包含了向量的线性组合、线性方程组、坐标变换、线性变换,不管它们是怎么来的,有没有物理意义你都可以迅速链接到线性代数这个强大的工具箱,大量使用矩阵、行列式、秩、特征向量等概念。

最后,你使用线性代数的理论刷刷刷的往后推,得到一个结果。然后你往往可以享受最美妙的部分:理解结果的几何意义。这是因为线性代数链接上了几何。

什么是理解

所谓理解一个概念,就是把这个概念和已有概念建立联系。你对已有概念越熟悉,这个联系越强,你就会觉得自己越理解。

楼主谈到中学的每个概念在脑子里都能画出来。这是一种最直观的理解,即把概念和生活体验建立关系。能在中学时代做到这点的同学,基本上都是好学生了。

高等数学的麻烦在于:已有概念不是生活体验,而是另外一些数学概念。概念间的联系不是视觉联系,而是逻辑联系。所以,如果不能正确理解基础数学概念,后续概念也就没法理解了。同时,如果不牢牢地把握住逻辑,企图用直观来把握,就会觉得,书上说什么就是什么,我就记住把。反正我不理解。

(我不是说直觉不重要,你可以从直觉出发,把这个直觉落实到严格证明,或者先看懂了严格证明,再反向去感觉直觉是什么。随着数学学习的深入,更多的直觉是来自于这后一条路。无论如何,如果忽略证明,只关心直觉,脑子就会乱成一锅粥)。

无法理解高等数学怎么办?看看认真的人是怎样学的

图三

我们现在以欧拉公式为例。

首先,我们通过对实数域函数的分析,得到了e^x, cos(x), sin(x)的泰勒级数形式。

然后,我们通过对复数域的分析,得出了i^2 = -1。

然后,我们假设泰勒级数公式在复数域也成立。

e^(iy)=1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-.....  =(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....)  +i(y-y^3/3!+y^5/5!-....)

由于 cosy = 1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....,  siny = y-y^3/3!+y^5/5!-....

所以e^(iy) = (cosy+isiny)

这个证明是不严格的,真正严格的证明方法需要重新定义复数域上的cosz和sinz函数。但是这个证明充分说明了什么叫数学意义上的理解,那就是一点直觉+一点证明。

在复数域上最初我们只定义了加法和乘法。我们从直觉上甚至没法想象e^(iy)是什么,但是,既然大家都是数,我们直觉上认为(或者从美学的角度认为),如果实数域上的泰勒公式在复数域上也成立,那是很漂亮的。基于这个直觉,加上一点点证明,我们就知道怎么定义e^(iy)了。

数学家们也是这样定义出高维空间中的超平面的,他们觉得超平面这样定义是美的,且与现有的平面性质吻合。不使用逻辑推导,我们根本看不到超平面。

打桩法

在介绍欧拉公式的证明的时候,我们其实已经初窥打桩法的门径了。也就是,想要理解未知概念(欧拉公式),首先找到自己认同的已知概念(实数域中的泰勒级数),然后建立两者间的联系。

现在我系统的介绍一下怎么用打桩法来学习。

一本书来了,找到你最有感觉的概念,学习之,即打下一棵桩。不一定非要按顺序读书。采取几个行动:看目录,找有感觉的桩。或者随机的翻开一页,读完,然后问自己这一大段到底想讲什么。既然作者不是笨蛋,他一定想讲些东西。打下几根桩后,你还可以问自己,我现在读的东西和现有的几根桩有什么关系?

打桩没有任何约束。一本书上看什么都行,有图画就看看图画,有题目就看看题目。这都行。但凡能帮助你打桩产生感情的内容都可以读。

但是桩打到一定程度,脑子里攒了一堆乱七八糟的直觉后,基本上整本书到处都是桩,到处都是你的卧底。这时候你就可以追逐严密性了。看清楚概念。然后看定理,其实概念的桩打牢了,大部分定理都能够自己证明出来。慢慢的就把这本书给啃了。

为什么非要自己搞懂定理的证明?因为有的时候你以为你看懂了定理,但是你根本没看懂。逼着自己证明,你才会知道这个定理到底在讲什么。

还有一个原因是:定理讲的是概念之间的联系,可以帮你复习概念的定义。同时如果你看不懂一个定理的证明,很可能是你对概念的内涵没有理清楚。很多时候概念的定义就那么几个字,但真是意味深远,一字不可更易。定理得证明不用背,你真的看懂了,就会发现好几个定理的证明其实是同一个技巧,而你自己会不知不觉地把技巧上升为一个概念。你根本就忘不掉这个概念。如果一个技巧只在一处用到,那说明它根本就不重要,干脆忘掉好了。

一定要反复理清概念、定理之间的联系。读书的时候,很多概念、定理第一眼看过去觉得这不是显而易见的吗,然后就跳过去了。下一次又看到的时候,因为对于整本书的理解加深了,再看一遍,真有“于无声处听惊雷”的感觉,往往不起眼的一句话,串起好几个零散的概念。

当然,有些内容如果一直到最后都孤零零的,和别的概念没什么关系,那很可能是这本书的重点不在这里,所以在这边的讨论很薄弱。干脆放弃也没关系。

以我自己学习线性代数的过程为例,解释一下打桩法的心理变化:

一、第一遍学的时候,我问自己“线性代数到底在鬼扯什么”?我回答不了。但是听说线性代数和解析几何有关系。我就去学了一本解析几何。有一半内容是中学已经学过的,所以还学得下去。学完了之后,发现书上好几处用到行列式,我就把行列式学了。

二、解析几何讲坐标变换的时候,会讲过渡矩阵和矩阵乘法,所以我把线性代数的这两部分也学了。顺便理解了方阵可逆等价于对应的行列式不等于0。因为基于“行列式”和“矩阵”这两个概念,我能够理解“可逆”这个概念。矩阵的初等变换、秩什么的我不理解,所以算了。

三、研究线性方程组。高斯消元法和中学学过的解方程很想,所以学了。然后我突然意识到高斯消元法就是矩阵的初等变换,也还是行列式的初等变换,所以基于“高斯消元法”和“行列式的初等变换”这两个我有感情的概念,把矩阵初等变换给学了。

四、高斯消元法得出系数矩阵A的秩等于n的时候,线性方程组只有非零解。我对于线性方程组的求解还是有兴趣的,因为经常用到。既然有这么个定理,逼上梁山,把秩给学了吧。真学起来,才发现秩的性质是基于行列式这个我有感情的概念定义的,我自己认为秩其实就是行列式=0这个概念的一个推广。所以学起来轻松愉快。

五、接下来是用向量空间的概念定义线性方程组的解结构。这个我以前觉得是吃饱了撑的,既然已经有了高斯消元法,问题都解决了,你还多此一举干什么。可是我学了解析几何啊,我现在知道向量空间就是空间、平面、支线这些概念了。所以我就觉得向量空间这个概念很酷阿。

六、说句老实话,我觉得向量空间和向量组没有什么区别阿,光看定义根本不觉得封闭性是个多么了不起的概念。可是读完了线性方程组的解结构才知道,如果线性方程组的解结构不是一个向量空间,而是一个到处漏风的向量组,那么解结构就不能表达成向量的线性组合,一点都不漂亮。这就是为什么读定理真的可以加深对概念的理解,概念里面就是“封闭性”这三个字,到定理里面用起来才知道它其实是屠龙刀。

七、我原来一直觉得“线性空间”和“向量空间”这两项内容简直是同义反复。我就问自己,为什么作者非要写两遍。后来结合解析几何,才意识到几何空间就是一个线性空间,几何空间坐标化了之后才是向量空间。而且学完线性代数后,重新去看解析几何的定理,简直焕然一新。当年辛辛苦苦证明的定理,现在就是一句话“我们一般理解的几何空间就是一个三维线性空间。”感觉爽透了。

八、在学线性空间之前,我一直喜欢做标量运算,喜欢把矩阵拆成元素来玩。因为我对于矩阵的理解还是停留在线性方程组里面的一个个系数。但是线性运算等于矩阵这个定理一出来,我彻底的被震撼了。矩阵不是一个一个的元素,它就是它自己:线性运算。矩阵的意义,就是我们有了超能力,过去我们只能看一个个标量,现在我们可以把这一堆标量构成的矩阵看成一个整体,作为一个独立的单元来操作。然后就有了矩阵的相似对角化、正交对角化、SVD分解之类的东西。好吧,这几个东西就是我书上的最后两章,我一口气读完了。

上面说的是一个极简版的历程,真实的心理历程,是几百个“为什么”、“胡扯”、“跳过去”、“这几个东西有什么关系”这样的问题串起来的,可是这样读完这本书后,所有的概念都活了,我看世界的眼光彻底变了。

无法理解高等数学怎么办?看看认真的人是怎样学的

图四

打桩法的其他用途

其实打桩法不只可以用于数学,也可以用于任何书籍,包括文科类书籍和小说。读文科的书籍,经常读完了,只有一些印象深刻的地方留了下来。什么地方深刻?耸人听闻的地方深刻,符合自己原有观念的地方深刻。这样读还不如不读。因为你只是不断的在强化自己,或者记住一些耸人听闻(往往不对)的八卦。你的思想高度还是停留在原地。

如果用打桩法追求彻底理解,读完之后,你就会知道:这本书的脉络是什么。可以怎么应用于生活中。哪些地方与我的生活体验一致,哪些地方相违背。哪里有逻辑,哪里没有逻辑。

读完一本书,你的思想就直接被提升到接近作者的高度,这才是读书。

此外,打桩法其实也是一个解题方法。我们解数学题的时候,这里试一下,不行,就换一种方法再试。最后的方法,往往是之前几个不成功的方法(桩)的组合。人生也是如此。理解人生没有捷径。做自己热爱的事情,认真地去做,有一天,你会发现Dots will be connected。那时候你才恍然大悟:哦,原来这就是我的人生。我的人生不是第一个点,也不是第二个点,而是所有这些连接起来的点。

拓展阅读

学习数学,其实走到概念这一层并没有到头。你还可以问,为什么概念需要这样定义?其实是为了符合人的直觉和有用。数学家想着,我需要定义一个概念,这个概念需要具有什么样的性质(不需要证明,就像物理学家觉得这个世界应该是守恒的一样),因为只有这些性质会让我开心而且有用。

你也可以尝试着自己定义概念,不过一定要有用、直观、优美,与现有理论能够有一定联系哦。

此外,有的时候,经过一连串逻辑推理得到的结论,暂时没有直观的理解。就好像通过逻辑我们可以定义出高维空间中的平面、球,但是我们看不见。你是否敢相信逻辑的力量?

定义概念与相信逻辑的力量,这两者在牛津通识读本的《数学》一书中讲的非常透彻,大家可以读读。看完这本书后,你就会意识到,当读完一本书后,你心中也就没有这本书了。因为这本书所讲的全部内容,都可以基于你自己的生活体验和逻辑完全推出来。

数学从来都是一种壮观的模式,像崇山峻岭一样巍峨,像大海一样广阔,可是只有懂得它的人才能看见。欣赏美的最好方法是实实在在的去读数学书,但是为了给你鼓点劲,可以读读《20世纪数学经纬》。


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