掌握这些方法,你也能数学次次95+

数学技术
数学经纬网    2021-01-11    143

数学差的主要原因还是在于学习时间不足以及学习方式的不当。当我们在一门学科中投入大量时间后,必然会对该科目的学习有一定的见解。

写在之前:

大学数学较高中要难,因此我也在课上课下、社团招新的时候无数次听到有人说自己不是学数学的料,没有学习数学的天赋(笔者为数学专业,同时参与数学社团工作)。在这里,我想告诉各位自诩“数学天赋差”的同学,数学差不是由基因决定的。人类经历了漫长的进化达到现在的阶段,与其他物种的最大区别就在于我们有进化或者说适应环境的能力。对于一个英语差的人,要提升他的英语能力不需要让他经历几百年的自然选择,只需要告诉他英语六级不过的话就没法毕业即可。

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图一

因此,数学差的主要原因还是在于学习时间不足以及学习方式的不当。当我们在一门学科中投入大量时间后,必然会对该科目的学习有一定的见解。就我而言,我政治一直不好,从初中开始就不好,但不能说我没学政治的天赋,是因为我不喜欢政治的学法,没有养成反复背诵记忆的习惯。同理,我们可以说自己学不好数学是因为不喜欢数学,没有在初高中掌握好的学习方法,但万万是不能归因于天赋或者基因的问题。当然,有的人既能学好数学,又能学好政治、经济、法律等科目,那是因为他拿别人打游戏的时间去学习掌握背诵技巧了;也有的人既学不好数学,又学不好政治、经济、法律等科目,那是因为他不仅拿大家打游戏的时间去打游戏了,而且还拿本该学习数学的时间去打游戏了。所以我们是要当那种人呢?

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图二

数学的重要意义:

数学是一切科学的基础,一切科学,包括人文社科与自然科学,都离不开数学。当然,例如政治、法律等科目似乎没有合理的数学模型构造,但我觉得那是它们自己的问题应该加以认真反思才行,没有数学基础的科学就像没有人投钱的项目或者单纯被贪官奸商拿出来圈钱的项目,或许有且能够存在下去,但也该思考一下自己为啥这么菜了。

我们学习数学,其实就是在学习自己的专业课。如果在大学的学习过程中发现自己的专业课与数学结合的不够紧密,产生了数学对专业课不重要的错觉,那么,怎样让数学与自己的专业课紧密结合就是我们每个人应该思考的问题。

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图三

现代数学框架体系的构建:

(对数学感兴趣的看,没兴趣的自行略过)

集合论:现代数学的共同基础

现代数学有数不清的分支,但是,它们都有一个共同的基础——集合论,因为它,数学这个庞大的家族有个共同的语言。集合论中有一些最基本的概念:集合,关系,函数,等价,是在其它数学分支的语言中几乎必然存在的。对这些简单概念的理解,是进一步学习别的数学分支的基础。

在集合论的基础上,现代数学有两大家族:分析和代数。至于其它的,比如几何和概率论,在古典数学时代,它们是和代数并列的,但是它们的现代版本则基本是建立在分析或者代数的基础上,因此从现代意义说,它们与分析和代数并不是平行的关系。

分析:在极限基础上建立的宏伟大厦

分析从微积分开始发展起来,牛顿莱布尼兹发明了它,柯西等人将它发展成了一种严密的语言(虽然没有完全解决,比如对不连续函数的可积问题没能给出方案)。

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图四

之后,在极限思想的支持下,实数理论在这个时候被建立起来,它的标志是对实数完备性进行刻画的几条等价的定理(如柯西收敛,确界,区间套等)。随着对实数认识的深入,如何测量“点集大小”的问题也取得了突破,勒贝格创造性地把关于集合的代数,和外测度的概念结合起来,建立了测度理论(Measure Theory),并且进一步建立了以测度为基础的积分——勒贝格积分。在这个新的积分概念的支持下,可积性问题变得一目了然,实变函数成型。

对于应用科学来说,实分析似乎没有古典微积分那么“实用”——很难直接基于它得到什么算法。但它为许多现代的应用数学分支提供坚实的基础。例如,拓扑学(把分析从实数域推广到一般空间),微分几何(爱因斯坦广义相对论的数学基础)等。

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图五

代数:一个抽象的世界

线性代数在代数中处于基础地位,线性代数,包括建立在它基础上的各种学科,最核心的两个概念是向量空间和线性变换。线性变换在线性代数中的地位好比连续函数在分析中的地位,它是保持基础运算(加法和数乘)的映射。

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图六

其上有泛函分析(从有限维到无限维),调和分析,李代数等更多内容,调和分析包含的傅里叶分析在工程、物理学中有大量应用。

以上现代数学体系是想让喜欢数学的同学了解自己现在所学的科目的重要意义,以及今后进一步学习的漫漫长征路,明确自己该按照怎样的态度去学数学分析与高等代数。上述内容我学过的也不多,也就学了基础的部分以及实变函数,还有无尽的远方。

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图七

大学数学学习基本方法:

1. 先记基本概念

别盲目的做题。在完成老师布置的作业前,先看一遍上课讲过的内容,总体思路就是先理解,再做题。大学数学还是有一定难度且需要好好打基础的,必须记住概念,课程前后的内容连接也比较紧凑,节奏略快,不记上一节课的内容下节课就可能听不懂。

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图八

2.珍惜老师以及课本给的题目

虽然大学确实和高中数学一样,考试出的也就那么一个问题,但是不同之处在于高中考试较多,一道题目多错几遍我们就知道套路了。到了大学没那么多考试,因此平时的作业就是练笔的机会,需要锻炼下自己的计算能力,复旦教材课后题的数量很是充裕,一般不需要买吉米多维奇的书来做。

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图九

3. 优质错题记录

考试不多,所以错题的记录就显得很重要,想考高分基本看套路,记得答题的技巧。作业里的难题错题要好好理解,数学分析的主要难点就在于各大实数理论的相互证明推导,这个需要下功夫记忆。高等代数相对容易,但不少证明较为巧妙,也需要摘录。

其实数分高代的主要难点还是理论证明,计算能力就看个人平时有没有练习。有关证明、计算错误的、考点较偏的、有一定的答题格式的题目都有必要进行记录。

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图十

4. 复习从容易的部分开始

复习前可以先找找大学文科数学类的书看看,相当简单,题目也简单,翻复旦的数学教材根本无法快速过,一不留神就被一道证明题难住了,看这些容易的教材可以快速回顾知识点,完成记忆后再看课本。

学习的过程本来就是由浅及深,虽然我觉得数学分析最难的还是实数理论的证明,好像他们把难点放在最前面了,明明历史上是先用积分解决问题,然后再巩固理论的。不过复习的时候可以自己调整顺序。

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图十一

5. 理解意义、融会贯通

对于数学分析,我们要知道它的中心思想是极限,明白连续、可导、可微是什么,知道多元的连续、可导、可微的关系,懂微分与积分的关系,明白它为什么要有这么反人类的实数理论推导等内容。

对于高等代数,我们要知道它的基础是向量,了解向量的集合间的线性相关、线性无关与基础解系的关系,知道行列式的意义,把相似、特征值、特征向量等知识点联系起来。

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图十二

要知道我们其实学的不是好几门课,而是一门课,各个知识点间有着联系,从一个可以到另一个,需要了解这个知识点背后的意义及作用,把所有的东西连成一个圆。数学的知识也是在实践中找出来的,行列式、矩阵、微分、积分不是为了恶心我们这些考生想出来的。推荐大家可以去看看数学史,了解从人类早期到现代数学的发展历史,对于理清它们的关系很有帮助。

结语:

好像没啥能说的了,我不是很擅长教别人东西,也不太擅长学习方法的梳理,可能这就是文科不学好的下场吧,但“理解是学习的根本”是我的指导思想,除非有考试不然懒得背。

当然,还是希望大家能够对数学有兴趣,多看点数学方面的书,说到底数学到底有什么不好的,除了难以外还能能找出别的缺点吗,它那么可爱!

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图十三

最后,希望大家能够认真踏实的去对待每一门学科的学习,尽快掌握科学且高效的学习方法,祝大家都能学得真本领,取得好成绩。


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