你也能懂的微积分(三)

微积分 数学技术
数学经纬网    2021-01-11    430

一切的一切就是不让你在科学里再谈那些无法测量,无法验证的概念,科学要基于实证。

17柯西来了

那么,只能想却无法数,无法“观测”的无穷小量是不是这样的一个概念呢?虽然它很直观,但是你回顾科学的历史,反直觉的重大科学进步难道还少么?历史一次次地告诫我们:直觉不可靠,我们能依靠的只有严密的逻辑和确凿的实验。

在这样的大环境下,我们迎来了一位重要人物:柯西。

你也能懂的微积分(三)

柯西深刻地认识到:只要涉及数学概念,任何关于连续运动的一些先验的直观观念,都是可以避免,甚至是必须避免的。科学放弃了形而上学方面的努力,采用“可观测”概念之后就迎来了大发展,那数学为什么不也这样呢?

无穷小量是一个无限趋近于0但是又不能等于0的概念,也就是说它有一个极限位置0,你可以想多接近就多接近,但就是无法到达。

我们知道实数跟数轴上的点是一一对应的。当我们说一个量在无限趋近于0的时候,很多人脑海里浮现的画面就是一个点在数轴上不停地移动,从一个点移动到下一个点,一直靠近0这个点。

但是这个图景是不对的,为什么?因为实数是稠密的。稠密就是说任意两个点(实数)之间永远都有无数个点(实数)(你自己想想是不是,1和2之间有多少个数?)。你以为它能从A点移动到邻近的下一个B点么?对不起,这个它真做不到!

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A点和B点之间永远有无数个点,也就是说A点根本就没有所谓的“下一个点”。你认为我一定要走完了A点到B点之间所有的点才能到达B点,那就不可避免地会陷入到芝诺悖论里去。因为你压根就不可能走完任何两个点之间的所有点(因为是无穷多个),所以,如果按照这种逻辑,你就根本“走不动”,所以芝诺的飞矢就飞不动了。

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因此,面对这种连续的概念的时候,我们就不应该使用这种“动态的”定义。你想通过“让一个点在数轴上动态地运动来定义极限”是行不通的,这就是莱布尼茨的无穷小量栽跟头的真正原因。

数学家们经过一百多年的探索、失败和总结,最后终于意识到了这点,这些思想在柯西这里完全成熟。于是,柯西完全放弃了那种动态的定义方式,转而采取了一种完全静态,完全可以描述测量的方式重新定义了极限,进而为微积分奠定了扎实的基础。

这里我把柯西对极限的新定义原封不动的贴出来:当一个变量相继的值无限地趋近某个固定值的时候,如果它同这个固定值之间的差可以随意地小,那么这个固定值就被称为它的极限。

有人看了这个定义之后就在犯嘀咕:这跟莱布尼茨说的不是一样的么?你还不是在用“无限趋近”啊,“随意的小”啊这种跟“无穷小”差不多的概念来定义极限么?你说以前的定义是动态的,柯西给整成了静态的,可是我看来看去,柯西这个定义好像也在动啊。什么无限趋近,随意的小,不是在动么?

有这些疑问是正常的,毕竟是让数学家们卡了一百多年的问题,不可能那么太“显而易见”。

我们再仔细看看柯西的定义,它跟以前的差别到底在哪?你看啊,柯西虽然也有用“无限趋近”,但是他只是用这个来描述这个现象,并不是用它来做判决的。他的核心判决是后面一句:如果它同这个固定值之间的差可以随意的小,那么它就是极限。

可以随意的小和你主动去无限逼近是完全不一样的。可以随意小的意思是:你让我多小我就可以多小。你让我小于0.1,我就能小于0.1;你让我小于0.01,我就能小于0.01;你让我小于0.00…001,我就可以小于0.00…001。只要你能说出一个确定的值,不管你说的值有多小,我都可以让它跟这个固定值的差比你更小。柯西说如果这样的话,那么这个固定值就是它的极限。

大家发现没有,柯西学聪明,学鸡贼了,他把这个判断过程给颠倒了过来。以前是你要证明自己的极限是0,你就不停地变小,不停地朝0这个地方跑过去。但是,你和0之间永远隔着无数个点,所以你永远也跑不完,你也就不知道你要跑到什么时候去,这样就晕了。

现在我学聪明了,这个难以界定的东西,这个烫手的山芋我不管了,我丢给你,我让你先说。只要你说出一个数,你要我变得多小我就变得多小。你如果想让我变成无穷小,那你就得先把无穷小是多少给我说出来,你说不出来的话那就不能怪我了。

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完美甩锅!这就是柯西的核心思想。

柯西就通过这种方式把那些不可测的概念挡在了数学之外,因为你能具体说出来的数,那肯定就都是“可观测”的啊。大家再看看这个定义,再想想之前莱布尼茨的想法,是不是这么回事?

于是,柯西就这样完美的甩开了那个招人烦的无穷小量。在柯西这里,无穷小量不过就是一个简单的极限为0的量而已,一个“只要你可以说出一个数,我肯定就可以让我和0之间的差比你给的数更小”的量。这样我们就能把它说得清清楚楚,它也不再有任何神秘了。

18魏尔斯特拉斯和ε-δ极限

然后,魏尔斯特拉斯用完全数学的语言改进了柯西的这段纯文字的定义,得到了最终的,也是我们现在教材里使用的ε-δ极限定义。

根据柯西的思想,魏尔斯特拉斯说:你要判断某个函数f(x)在某个地方a的极限是不是某个值L,关键就要看如果我任意说一个数ε(比如0.00…001或者任意其它的,注意是任意取,这里用ε代替),你能不能找到一个x的取值范围(用δ来衡量),让这个范围里的函数值f(x)与那个值L之间的差(用套个绝对值的|f(x)-L|表示)小于ε。如果你总能找到这样的δ,那我就说函数f(x)在a点的极限为L。

用精练的数学语言表述上面的话就是:当且仅当对于任意的ε,存在一个δ>0,使得只要0<|x-a|<δ,就有|f(x)-L|<ε,那么我们就说f(x)在a点的极限为L。记做:

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定义里的Lim就是极限的英文单词Limit的缩写,这个箭头x->a也非常形象地表达了极限这个概念。

这个定义就真正做到了完全“静态”,不再有任何运动的痕迹(连柯西说的“无限趋近”、“随意的小”都没有了),也不再有任何说不清的地方。从定义你也能清楚地看出来:它根本不关心你是如何逼近L的,飞过去、跳过去、爬过去的它都不管,只要最后的差比ε小就行,我就承认你是我的极限。

用一位伟人的名言翻译一下就是:不管黑猫白猫,能比ε还小的就是我的极限好猫。

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这里要特别注意的是ε是任意的,任意就是说随便ε取什么你都要找到对应的δ,你不能说有10个ε满足条件就说这是极限。

看个例子,我们考虑最简单的f(x)=1/x。当x的取值(x>0)越来越大的时候,这个函数的值就会越来越小:f(1)=1,f(10)=0.1,f(100)=0.01,f(1000)=0.001,……

看得出来,当x的取值越来越大的时候,f(x)的值会越来越趋近于0。所以,函数f(x)在无穷远处的极限值应该是0,也就是说:

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这个结论是很明显的,接下来我们就来看看如何用ε-δ定义来说这个事。

按照定义,我们要取一个任意小的ε,假设这里我们取ε=0.1,那么我们就要去找一个δ,看能不能找到一个范围让|f(x)-0|<0.1,显然只需要x>10就行了;取ε=0.01,就只需要x>100就行了;任意给一个ε,我们显然都能找到一个数,当x大于这个数的时候满足|f(x)-0|<ε,这样就OK了。

于是,我们就构建了一个逻辑严密,不再有任何“说不清”概念的极限理论。有了这个坚实的地基,我们就可以放心地在上面盖房子了。那个漂泊了一百多年,那个被幽灵般的无穷小量缠绕了一百多年的微积分,即将迎来新生。

19积分的重建

先看积分,我们之前认为曲线围成的面积是无数个宽度为无穷小量的矩形面积之和,于是我们在这里就被无穷小量缠上了。有了ε-δ极限之后,我们就可以刷新一下我们对积分的认知了:从现在起,我们把曲线围成的面积看成是一个极限,而不再是无数个无穷小量的矩形面积之和。

什么意思?假设我们用1个矩形逼近曲线围成的面积的时候,我把这一个矩形的面积记做S1,用两个矩形逼近的面积之和记做S2,同样的,我们记下S3,S4,S5……

一般情况,如果我们用n个矩形去逼近这个面积,这n个矩形的面积之和就记做Sn。如果这个Sn的极限存在,也就是说,随便你说出一个数字ε,我都能找到一个n的范围,让Sn和A之间的差|Sn-A|小于你给定的这个数字ε。那么,A就是这个Sn的极限。

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于是,我们就说:曲线围成的面积就是这个极限A,它是n个矩形面积之和这个序列Sn的极限。

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所以,我们就把这个极限过程表示的面积A定义为函数f(x)从a到b上的积分:

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这样,我们的积分就成了一个由ε-δ语言精确定义的极限。这里没有那个等于0又不等于0的无穷小量,一切都清清楚楚、明明白白,没有含煳的地方,这就是第二次数学危机的终极解决之道。

这样处理虽然不再那么直观,但是它非常精确和严密,这是符合数学的精神的。直观虽然能帮助我们更好的感受数学,但是如果失去了严密性,数学将什么都不是。

20导数的重建

积分解决了,微分这边也是一样。有了ε-δ定义之后,我们就再不能把导数看成是两个无穷小量的比值(dy/dx),而是:把导数也看成一个极限,对,还是极限。

这个理解起来相对容易,函数在某一点的导数就是这点切线的斜率。我们前面也说了,切线就是当割线的两点不停地靠近,当它们的距离变成无穷小时决定的直线。

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很显然,这个定义是依赖无穷小量的,我们现在要用ε-δ定义的极限来代替这个无穷小量。所以,切线就应该被理解为割线的极限,那么切线的斜率(也就是这点的导数)自然就是割线斜率的极限,所以导数f(x)’也自然而然地成了一个极限。

由于割线的斜率就是用这两点的纵坐标之差f(x+Δx)-f(x)除以这两点的横坐标之差(x+Δx-x=Δx),而导数f(x)’是割线斜率的极限。那么,我们在割线斜率的前面加一个极限符号就可以表示导数f(x)’了:

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这才是导数的真正定义,它是一个极限,而不再是两个无穷小量dy与dx的商dy/dx。也就是说,按照极限的ε-δ定义,这个导数f(x)’的真正含义是:你任意给一个ε,我都能让割线的斜率与这个值的差比你给的ε更小。

我反复强调ε-δ定义的含义,就是希望大家能真的从这种角度去理解极限,思考极限,逐渐放弃那种“无限动态趋近某个点”的图景。思维一旦形成定势,想再改过来是非常困难的,所以我们得经常给自己“洗脑”,直到把新理论的核心思想洗到自己的潜意识里去,这样才算真正掌握了它。

我以前讲相对论的时候,很多人在讲相对论时能切换到相对论思维,但是平常一不留神就又跌回到牛顿的思维里去了。然后就闹出了一堆悖论、佯谬和各种奇奇怪怪的东西,这里也一样。

21微分的重建

莱布尼茨当年认为导数是两个无穷小量dy和dx的商,所以他用dy/dx来表示导数。虽然现在导数不再是这个意思,但是莱布尼茨当年精心发明的这一套符号确实是非常好用,于是我们就继续沿用了下来。

也就是说,我们今天仍然用dy/dx表示导数,但是大家一定要注意,dy/dx在现代语境里是一个极限,不再是两个无穷小量的商。

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如果不熟悉微积分的历史,就很容易对这些符号产生各种误解,这也是很多科普文、教科书在讲微积分时的一大难点。因为思想是新的,符号却是老的,确实很容易让人犯煳涂。

于是,在莱布尼茨那里,他是先定义了代表无穷小量的微分dx和dy,然后再用微分的商定义了导数dy/dx,所以那时候导数也叫微商。

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但是现在剧情完全反转了:我们现在是先用ε-δ定义了极限,然后从极限定义导数dy/dx。这里压根没有微分什么事,只不过由于历史原因我们依然把导数写成dy/dx这个样子。

那么,dx和dy这两个之前被当作无穷小量的微分的东西,现在还有意义么?

答案是有意义!

这个dx和dy还是有意义的,当然,有意义也肯定不可能再是以前无穷小量的意思了。那么,在ε-δ极限这种全新的语境下,dx和dy在新时代的意义又是什么呢?请看下图:

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蓝色切线的斜率表示在P点的导数,如果我们继续用dy/dx表示导数的话,那么从图里就可以清楚的看到:dx表示在x轴的变化量,dy就刚好表示蓝色的切线在y轴的变化量。

也就是说,当自变量变化了Δx的时候,Δy表示实际的曲线的变化量,而微分dy则表示这条切线上的变化量,这就是新的语境下函数微分dy的含义。而自变量的微分dx,大家可以看到,就跟x轴的变化量Δx是一回事。 由于切线是一条直线,而直线的斜率是一定的。所以,如果我们假设这条切线的斜率为A,那么dy和Δx之间就存在这样一种线性关系:dy=A·Δx。 这些结论都可以很容易从图中看出来,但是,一个函数在某一点是否有微分是有条件的。我们这里是一条很“光滑”的曲线,所以在P点有微分dy,也就是说它在P点是可微的。但是,如果函数在P点是一个折点,一个尖尖的拐点呢?那就不行了。因为有拐点的话,你在这里根本就作不出切线来了,那还谈什么Δy和dy? 关于函数在一点是否可微是一个比较复杂(相对科普的复杂~)的问题,判断曲线(一元函数)和曲面(二元函数)的可微性条件也不太一样。直观地看,如果它们看起来是“光滑”的,那基本上就是可微的。

微分的严格定义是这样的:对于Δy是否存在着一个关于Δx为线性的无穷小A·Δx(A为常数),使它与Δy的差是较Δx更高16.png

o(Δx)就表示Δx的高阶无穷小,从字面上理解,高阶无穷小就是比无穷小还无穷小。当Δx慢慢趋向于0的时候,o(Δx)能够比Δx以更快的速度趋向于0。比如当Δx减小为原来的1/10的时候,o(Δx)就减小到了原来的1/100,1/1000甚至更多。

如果这个式子成立,我们就说函数y=f(x)在这点是可微的,dy=A·Δx就是函数的微分。因为这是一个线性函数,所以我们说微分dy是Δy的线性主部。

这部分的内容好像确实有点乏味,莱布尼茨时代的微分dy就是一个接近0又不等于0的无穷小量,理解起来非常直观。但是,我们经过ε-δ的极限重新定义的函数的微分dy竟然变成了一个线性主部。这很不直观,定义也挺拗口的,但是这样的微积分才是现代的微积分,才是基础牢固、逻辑严密的微积分。

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为了让大家对这个不怎么直观的微分概念也能有一个比较直观的概念,我们再来看一个非常简单的例子。

我们都知道半径为r的圆的面积公式是S=πr²。如果我们让半径增加Δr,那么新的圆的面积就应该写成π(r+Δr)²,那么,增加的面积ΔS就应该等于两个圆的面积之差:

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大家看到没有,这个式子就跟我们上面的Δy=A·Δx+o(Δx)是一模一样的。只不过我们把x和y换成了r和S,A在这里就是2πr,这里的π(Δr)²是关于Δr的平方项,这不就是所谓的高阶(平方是2阶,Δr是1阶,2比1更高阶)无穷小o(Δx)么?

所以,它的微分ds就是2πr·Δr这一项:

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它的几何意义也很清楚:这就是一个长为2πr(这刚好是圆的周长),宽为Δr的矩形的面积,好像是把这个圆“拉直”了所得的矩形的面积。

好了,微分的事情就说到这里,剩下的大家可以自己慢慢去体会。毕竟这是一篇关于微积分的科普文,再写太多就成教材了。

22收官的勒贝格

关于微积分的重建,我们已经看到了如何在ε-δ定义的新极限下重新定义了积分和微分,也看到了在这种新的定义下,积分和微分的概念跟以前有什么不同。沿着这条路,我们还能非常严格的证明微积分基本定理,也能很好地处理连续性、可微性、可导性、可积性等问题。虽然在具体的计算方式上跟以前的差别不大,但是微积分的这个逻辑基础已经跟以前发生了翻天覆地的变化,这个差别大家要仔细体会。

在魏尔斯特拉斯给出极限的ε-δ定义之后,微积分的逻辑问题基本上解决了,但还有一些其它的问题。比如,有了微积分,数学家们当然就希望尽可能多的函数是可以求出积分的,但是你像来砸场子的狄利克雷函数(x为有理数的时候值为1,x为无理数的时候值为0)就没法这样求积分。

不信你想想,一个在有理数为1,无理数为0的函数你要怎么去切块?它在任何一个地方都是不连续的,你甚至连它的图像都画不出来,怎么用矩形去逼近?所以,这里就有一个棘手的问题:一个函数到底要满足什么条件才是可以求积分的呢?

这个问题一直拖到20世纪初才由大神勒贝格解决。勒贝格把我们常见的长度、面积概念做了一个扩展,得到了更一般的测度的概念。然后,他基于这种测度定义了适用范围更广的勒贝格积分,于是,原来无法求积分的狄利克雷函数在勒贝格积分下就可以求积分了。然后,勒贝格基于测度的理论也给出了一个函数是否可积的判断条件,完美收官!

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于是,我们这段跨越两千多年,从阿基米德到勒贝格的微积分之旅就要告一段落了。

23结语

古希腊人和古代中国人都知道用已知的多边形去逼近复杂曲线图形,阿基米德用穷竭法算出了一些简单曲线围成的面积,刘微用正多边形去逼近圆,也就是用割圆术去计算圆周率。

牛顿和莱布尼茨发现了“微分和积分是一对互逆运算”这个惊天大秘密,正式宣告了微积分的诞生。

柯西和魏尔斯特拉斯用ε-δ语言重新定义了极限,把风雨飘摇中的微积分重新建立在坚实的极限理论基础之上,彻底解决了幽灵般的无穷小量的问题,解决了第二次数学危机,也在数学领域解决了芝诺悖论。

勒贝格基于集合论,对积分理论进行了一次革命,建立了定义范围更广的勒贝格积分,并且进一步把这场革命推进到了实分析。

我的文章虽然以勒贝格结尾,但这丝毫不代表微积分在勒贝格这里就走向了完结,即便这时候已经是20世纪初了。

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20世纪60年代初,有一个叫鲁滨逊的德国人重新捡起了莱布尼茨的无穷小量。他把实数扩展到非实数,直接把无穷大和无穷小变成了非实数域里的一个元素。所以他的理论可以直接处理无穷小量,这是第一个严格的无穷小理论。

我们知道,幽灵般的无穷小量在微积分建立初期掀起了腥风血雨,后来经过柯西和魏尔斯特拉斯的拼命抢救,才终于在坚实的ε-δ极限理论之上重建了微积分。柯西和魏尔斯特拉斯的这一套让微积分严密化的方法被称为标准分析。

而鲁滨逊认为,无穷小量虽然不严谨,但是大家基于无穷小量做的微积分计算却也都是正确的,这至少表明无穷小量里应该也包含着某种正确性。ε-δ极限是一种绕弯解决无穷小量不严谨的方法,但是这种方法并不是唯一的。鲁滨逊选择直接面对无穷小量,直接建立了另一种让微积分严密化的方法。因此,与柯西和魏尔斯特拉斯的标准分析相对,鲁滨逊的这种方法被称为非标准分析。

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提出了不完备定理的数学大神哥德尔就对非标准分析推崇备至,他认为非标准分析将会是未来的数学分析。他说:“在未来的世纪中,将要思量数学史中的一件大事,就是为什么在发明微积分300年后,第一个严格的无限小理论才发展起来。”

我们现在就处在哥德尔说的未来的世纪中,各位看官对这个问题有没有什么看法呢?如果我的这篇文章能够让大家对微积分,对数学感兴趣,进而开始自己独立的思考这些问题,那就善莫大焉了~

此外,我希望长尾科技的这篇文章也能多多少少改变一下大家对数学的看法:数学不等于计算,数学也不等于应用,绝妙而深刻的数学思想(比如发现微分和积分是互逆过程)和严密的逻辑(如使用ε-δ定义极限)反而是更重要的。而且,数学的壮观之美也往往需要站在后面两个角度上才能体会到,我很难相信有人会觉得重复的做计算是很有趣的,这也是很多人不喜欢数学的原因。

但是,我绝对相信那些真正认识了数学的人,他们是发自内心的觉得数学美丽动人。

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并不是那些数学大神们很奇怪,而是他们确实看到了常人没能看到的绝美风景。


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