正交多项式是将多项式回归方程Y=a0+a1X+a2X2+…+akXk (1)中的X,X2,…,Xk进行适当变换,相应地变成ψ1(X),ψ2(X),…,ψk(X),于是上述回归方程变为Ŷ=b0ψ0(X)+b1ψ1(X)+…+bkψk(X), (2)式中每个ψi(X)是X的i次多项式,亦即ψ1(X),ψ2(X),…,ψk(X)分别是X的一次、二次及k次多项式。设X是等间隔取值,则可使X1＝1,X2＝2,…,Xt＝t,…Xn＝n。如果Xi＝a+h,X2＝a+2h,…,Xn＝a+nh,则作变换x=X-a/h就可得x1＝1,x2＝2,…,xn＝n;k为多项式的最高方次,n为样本含量。为简化运算,选择ψi(X),使这两条性质称为正交性,可以验证下面一组多项式满足上述正交性。故这组多项式称为正交多项式。由于Ψi(X)(i=1,2,…,k)的值不一定都为整数,为了计算方便,引进适当的系数λi,使φi=φi(x)=λiΨi(X) ,(5)在n个等间隔点上的值都为整数。对给定的n,相应的λi及φi在第1,2,…,n各点的数值与si＝∑φ2i都已制成了正交多项式表供实际计算之用,如表1是摘录n为5 ～8的正交多项式表,详表见有关统计表。表1 正交多项式表(n为5～8 )tn5678Φ1Φ2Φ3Φ4Φ1Φ2Φ3Φ4Φ5Φ1Φ2Φ3Φ4Φ5Φ1Φ2Φ3Φ4Φ512345678-2-10122-1-2-12-120-211-46-41-5-3-11355-1-4-4-15-574-4-751-322-31-15-1010-51-3-2-1012350-3-4-305-1110-1-113-7161-73-14-505-41-7-5-3-1135771-3-5-5-317-7573-3-7-577-13-399-3-137-723-17-151517-237siλi101141105/67035/12702843/21805/3287/1225221/1028184161/61547/12847/20168216812642/36167/1221847/10摘自 山内二郎:统计数值表,404,JSA-1972在多项式回归分析或多项式曲线拟合中,当自变量按等间隔取值时,可利用预制的正交多项式表求各回归系数,使运算过程大大简化,并使不同方次的回归方程的假设检验可以同时进行。多项式回归分析的方法步骤如下:(1)根据样本含量n,采用相应的正交多项式表;并按数据描绘的散点图或以往的经验初步确定多项式的方次k (一般k≤5即可,故表中只列出高达5次的正交多项式);从而列出计算表(如表3)。首先计算则回归方程为(2)对正交多项式回归进行拟合优度的逐步比较(参见“曲线拟合优度的比较”)。可按表2作方差分析。表2 正交多项式回归的方差分析注意:每次多项式φi(X)的系数bi及相应的Bi＝φi(Xi)yi只与Yt及φi(Xt)有关,而不随其他各次多项式的增减而变化。在整个回归分析中,多配一项φi(X)就使回归平方和SS回增加一项biBi。因此可把biBi＝Bi2/si看作是第i次多项式φi(X)的效应,而回归平方和则是各次效应之和。因此检验所配各次多项式Φi(X)对Y有无贡献,可用各次效应biBi与剩余均方进行F检验,Fi的自由度为1,n-k-1。对于那些没有贡献的高次项可从回归方程中删去。s2之比:例 不同室温下测定家兔的血糖值,结果如下,试用正交多项式拟合适当的曲线。温度(℃) X5101520253035血糖值(mg/dl)Y13012091.589107.5122.5147.5表3 正交多项式计算表X(1)x(2)=(1)/5Φ1(3)Φ2(4)Φ3(5)Y(6)Y2(7)51015202530351234567-3-2-10+1+2+3+50-3-4-30+5-1+1+10-1-1+1130.0120.091.589.0107.5122.5147.516900.0014400.008372.257921.0011556.2515006.2521756.25Bi=∑ΦiY73.5434.5-1808.0 95912.00(∑Y) (∑Y2)sibi=Bi/sibiBi=B2i/si282.625192.9375845.1732247.50306-0.16670.1667n=7b0=＝808/7=115.4286λi111/6表3第(1)、(6)栏为测定数据,第(2)栏系将第(1)栏等差数据简化为1,2,…,7形式。表3第(3)～(5)栏上半段及si、λi录自正交多项式表(表1)n=7,k=3(由本例散点图可看出各点趋势呈抛物线,即二次曲线,取比它高一次,故k=3)。表3下半段:Bi按式(6)计算,如B1＝(-3)(130)+(-2)(120)+(-1)(91.5)+…+(3)(147.5)=73.5,余仿此。bi按式(7)计算,如b1＝B1/s1＝73.5/28=2.625,余仿此。作方差分析。给定α=0.05,按表2,得查F界值表得P值,P*”号,按表4 家兔血糖值的正交多项式回归的方差分析变异来源SSvMSF总2645.71436　　回归:一次二次192.93752247.503011192.93752247.50302.8232.87*三次0.166710.16672440.60723剩 余205.1071368.37　a=0.05水准,可认为二次项对Y有贡献,三次项没有贡献。故宜配二次正交多项式,按式(9)及式(4)得本例由表3,得b0=115.4286,b1=2.625,b2=5.173,λ1=1,λ2＝1, ＝(1+7)/2=4, x=X/5, n=7。代入方程,并化简得所求的回归方程:将各X值代入上式可得各相应的估计值Y如下,列出实测值Y以资比较。X5101520253035Y13012091.589107.5122.5147.5　Ŷ133.42110.1897.2894.73102.52120.66149.14按(X,Ŷ)绘曲线如图,图中黑点是观察值(X,Y)。室温与家兔血糖值的关系(r)expO7M^)(4.17)25其中称为Zemike正交多项式，是在单位圆上定义的正交多项式，其表达式为：Ur) "=严4.18)”+1 ml二 一I其中其中n,m为Zemike多项式的阶数。