一、变指数函数空间在微分方程、电变流体力学、图像恢复等领域的具有广泛应用,变指数函数空间在近三十年里得到国家许多学者的研究。课题负责人在其已有的工作基础上提出了一些待研究的问题。如: 1) 研究变指数函数的条件使得变指数勒贝格空间是无条件鞅差空间和巴拿赫空间的条件使得取值于巴拿赫空间的变指数勒贝格空间是无条件鞅差空间;研究变指数的条件和巴拿赫空间的条件使得取值于巴拿赫空间的变指数的勒贝格空间具有Radon-Nikodym 性质;发展一套取值于巴拿赫空间的变指数勒贝格间的抛物方程的在变指数勒贝格空间和变指数Sobolev空间等空间的极大正则性理论。 2)建立变指数Besov空间和Triebel-Lizorkin空间的嵌入性质,点态乘积估计。 3)在变指数勒贝格空间内开展非线性逼近等。这些问题的解决不但丰富和发展函数空间的理论而且会促进它们在其它领域的应用。 二、本课题主要创新和成果在三个方面: (一)、变指标函数空间的理论: 1、证明了向量值的极大算子在变指数Morrey 空间上的有界性和利用此结果和Peetre 极大函数得到了变指数Morrey 型Besov和Triebel-Lizorkin 空间的等价范数刻画、原子, 分子及小波分解刻画;在变指标的Morrey型Besov空间内建立了Beal-Kato-Majda型和Moser型不等式。建立了齐次Morrey型Besov空间的一个新特征, 利用此特征和Kato方法, 证明当初始值以齐次Morrey型Besov空间内的范数很小时,2维耗散准地转方程对时间的全局解的存在性和唯一性。 2、证明了变指标Besov和Triebel-Lizorkin空间为可容许拓扑度的。 3、证明了向量值的极大算子在一个变指标的Herz空间上的有界性,然后利用Peetre 极大函数得到了一个变指标的Herz型Besov 和Triebel-Lizorkin 空间的等价范数刻画。作为应用得到了一类拟微分算子在这些空间上的有界性。后来又将这些结果推广到有两个变指标的Herz空间上。还得到了常指标的非齐次Herz 型Besov 和Triebel-Lizorkin空间的原子、分子及小波分解刻画。 4、给出了取值于巴拿赫空间内的变指标Bochner-Lebesgue空间的对偶空间、自反性、一致凸性与一致光滑性, 以及相应的变指标的Bochner-Sobolev空间的一致凸与一致光滑性。然后给出了取值于巴拿赫空间的Bochner-Musielak-Orlicz 空间的完备性、对偶空间、一致凸性和一致光滑性。 5、引入一类与先前不同的变积分指标的Besov和Triebel-Lizorkin空间, 并给出了这些空间的局部极大函数刻画的特征, 完备性及提升性等。 6、得到了Toeplitz型算子在变指数空间的有界性, 以及在非双倍但满足一定增长的测度空间上的有界性。 (二)、带权的正交多项式理论: 1.给出了全实轴上关于雅可比-指数权函数的Lp-Christoffel型函数的上下界的精确估计。 2. 给出了在区间 (-1,1)上关于权函数的正交多项式的界、零点及Christoffel函数的精确估计。 (三)、亚纯函数与整函数: 1、建立了区域上的族的亚纯函数的一些新的正规定则; 2、得到了一些亚纯函数分担值时的唯一性定理。 3、得到了二阶整函数线性微分方程的系数的增长级为1时解函数的特征函数的增长性。 三、成果获奖: [1] 2012年度海南师范大学优秀科研成果单篇优秀论文二等奖。 [2] 2013年度海南师范大学优秀科研成果系列优秀论文二等奖。 [3] 第四届海南省高等学校优秀科研成果二等奖, 2013